jueves, 30 de junio de 2011

como se calcula el crecimiento de población

En Demografía, la Tasa de crecimiento demográfico es el aumento de la población de un determinado territorio (país, región, provincia, ciudad, municipio, etc.) durante un período determinado, normalmente, un año; expresado generalmente como porcentaje de la población al inicio de cada período o año, aunque hay países que este dato lo refieren a la mitad de cada año. Se establece cuando se contrasta el número de nacimientos frente al número de muertes en un periodo y lugar determinado. También se contrasta el número de emigrantes e inmigrantes (saldo migratorio).
Tasa de crecimiento demográfico= (tasa de natalidad- tasa de mortalidad) + Saldo migratorio (Emigraciones- Migraciones)
Las tasas de crecimiento se calculan como promedios anuales y se presentan como porcentajes. Salvo que se indique otra cosa, las tasas de crecimiento de los valores se calculan a partir de series de precios constantes, utilizando, principalmente, el método de los mínimos cuadrados, el método del crecimiento exponencial (puntos extremos) y el método del crecimiento geométrico (puntos extremos). Las tasas de variación de un período al siguiente se calculan como variaciones proporcionales respecto del período anterior.
Las tasas de crecimiento obtenidas según el método de los mínimos cuadrados se utilizan cuando se cuenta con una serie cronológica suficientemente larga para hacer cálculos confiables. No se calcula la tasa de crecimiento en los casos en que falta más de la mitad de las observaciones de un período. La tasa de crecimiento r se estima ajustando una línea de tendencia de regresión lineal a los valores logarítmicos anuales de la variable en el período pertinente. La ecuación de regresión adopta la forma siguiente:
ln Xt = a + bt,
que equivale a la transformación logarítmica de la ecuación de la tasa de crecimiento compuesto:
Xt = Xo (1 + r)t . = Xo (1 + r)t . = Xo (1 + r)t .
En esta ecuación, X es la variable, t es el tiempo, y a = ln Xo y b = ln (1 + r) son los parámetros que se han de estimar. Si b* es la estimación de mínimos cuadrados de b, la tasa media de crecimiento anual r se obtiene mediante [exp(b*) – 1] y se multiplica por 100 para expresarla en términos porcentuales.
La tasa de crecimiento calculada es una tasa media que representa las observaciones disponibles durante todo el período. No coincide necesariamente con la tasa de crecimiento real entre dos períodos dados.
Tasa de crecimiento exponencial. En el caso de determinados indicadores demográficos, especialmente la población activa y la población, la tasa de crecimiento entre dos puntos en el tiempo se calcula aplicando la fórmula siguiente:
donde pn y p1 son la última y la primera observaciones del período, respectivamente, n es el número de años comprendidos en el período, y ln es el operador del logaritmo natural. Esta tasa de crecimiento se basa en un modelo de crecimiento exponencial continuo entre dos puntos en el tiempo. No tiene en cuenta los valores intermedios de la serie. Tampoco corresponde a la tasa de variación anual medida en un intervalo de un año, que se obtiene con la fórmula:
(pn – pn-1)/pn-1.0000

como se calcula el interés compuesto

Cálculo del interés compuesto

Sea C un capital invertido durante n años a una tasa i de interés compuesto por cada año.
Durante el primer año el capital C produce un interés I1 = C · i . El capital final será:
C1 = C + Ci = C(1 + i)
Después del segundo año, el capital C1 produce un interés I2 = C(1+i )·i = C(i + i 2). El capital final C2 será:
C2 = C1 + I2 = C (1 + i ) + C (i + i 2) = C (i 2 + 2i + 1) =
= C · (1 + i )2
Al cabo de n años el capital inicial C, invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un capital final Cn,
Cn = C (1 + i )n
Puesto que el interés es la diferencia entre el capital final y el inicial:
I = Cn - C = C (1 + i )n - C, y sacando factor común C:

La tasa de interés se obtiene despejando en la fórmula de Cn:
Cn = C (1 + i )n



Aunque la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante n años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., sin más que convertir éstos a años:
Si los periodos de conversión son semestrales,
Si los periodos de conversión son trimestrales,
Ejercicios:
1. Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.
Resolución:
Aplicando la fórmula Cn = C (1 + i )n
? = C( 1 + i )n

C5 = 1 200 000 (1 + 0,08)5 = 1 200 000 · 1,4693280 = 1 763 193,6
El capital final es de 1 763 194 pesos.

2. Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1 583 945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.
Resolución:


Como los intereses se han pagado semestralmente, la fórmula que se ha de aplicar es:

1 583 945 = C (1 + 0,05)14
1 583 945 = C · 1,97993160, y despejando C:


El capital inicial fue de 800 000 pesos.

3. Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital
de 1 500 000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2 360 279 pesos.
Resolución:
· Cn = 2 360 279; C = 1 500 000; n = 4
2 360 279 = 1 500 000 (1 + i )4

1 + i = 1,1199999
i = 1,1199999 - 1 = +0,1199999 0,12
La tasa de interés ha sido del 12 %.

sistema de medidas para líquidos superficie y volumen

El sistema para medir longitudes en los Estados Unidos se basa en la pulgada, el pie, la yarda y la milla. Cada una de estas unidades tiene dos definiciones ligeramente distintas, lo que ocasiona que existan dos diferentes sistemas de medición.
Una pulgada de medida internacional mide exactamente 25,4 mm (por definición), mientras que una pulgada de agrimensor de EE. UU. se define para que 39,37 pulgadas sean exactamente un metro. Para la mayoría de las aplicaciones, la diferencia es insignificante (aproximadamente 3 mm por cada milla). La medida internacional se utiliza en la mayoría de las aplicaciones (incluyendo ingeniería y comercio), mientras que la de examinación es solamente para agrimensura.
La medida internacional utiliza la misma definición de las unidades que se emplean en el Reino Unido y otros países del Commonwealth. Las medidas de agrimensura utilizan una definición más antigua que se usó antes de que los Estados Unidos adoptaran la medida internacional.
  • 1 mil = 25,4 µm (micrómetros)
  • 1 pulgada (in) = 1.000 miles = 2,54 cm
  • 1 pie (ft) = 12 in = 30,48 cm
  • 1 yarda (yd) = 3 ft = 36 in = 91,44 cm
  • 1 rod (rd) = 5,5 yd = 16,5 ft = 198 in = 5,0292 m
  • 1 cadena (ch) = 4 rd = 22 yd = 66 ft = 792 in = 20,1168 m
  • 1 furlong (fur) = 10 ch = 40 rd = 220 yd = 660 ft = 7.920 in = 201,168 m
  • 1 milla (mi) = 8 fur = 80 ch = 320 rd = 1.760 yd = 5.280 ft = 63.360 in = 1.609,344 m = 1,609347 km (agricultura)
  • 1 legua = 3 mi = 24 fur = 240 ch = 960 rd = 5.280 yd = 15.840 ft = 190.080 in = 4.828,032 m = 4,828032 km
A veces, con fines de agrimensura, se utilizan las unidades conocidas como las medidas de cadena de Gunther (o medidas de cadena del agrimensor). Estas unidades se definen a continuación:
  • 1 link (li) = 7,92 in = 0,001 fur = 201,168 mm
  • 1 chain (ch) = 100 li = 66 ft = 20,117 m
Para medir profundidades del mar, se utilizan los fathoms (braza)
  • 1 braza = 6 ft = 72 in = 1,8288 m

Unidades de superficie

Las unidades de superficie en EE.UU. se basan en la yarda cuadrada (sq yd o yd²).
  • 1 pulgada cuadrada (sq in o in²) = 6,4516 cm²
  • 1 pie cuadrado (sq ft o ft²) = 144 in² = 929,0304 cm²
  • 1 yarda cuadrada (sq yd o yd²) = 9 ft² = 1.296 in² = 0,83612736 m²
  • 1 rod cuadrado (sq rd o rd²) = 30,25 yd² = 272,25 ft² = 39.204 in² = 25,29285264 m²
  • 1 rood = 40 rd² = 1.210 yd² = 10.890 ft² = 1.568.160 in² = 1.011,7141056 m²
  • 1 acre (ac) = 4 roods = 160 rd² = 4.840 yd² = 43.560 ft² = 6.272.640 in² = 4.046,8564224 m²
  • 1 homestead = 160 ac = 640 roods = 25.600 rd² = 774.400 yd² = 6.969.600 ft² = 1.003.622.400 in² = 647.497,027584 m²
  • 1 milla cuadrada (sq mi o mi²) = 4 homesteads = 640 ac = 2.560 roods = 102.400 rd² = 3.097.600 yd² = 27.878.400 ft² = 4.014.489.600 in² = 2,589988110336 km²
  • 1 legua cuadrada = 9 mi² = 36 homesteads = 5.760 ac = 23.040 roods = 921.600 rd² = 27.878.400 yd² = 250.905.600 ft² = 36.130.406.400 in² = 23,309892993024 km²

Unidades de volumen

La "pulgada cúbica", el "pie cúbico" y la "yarda cúbica" se utilizan comúnmente para medir el volumen. Además existe un grupo de unidades para medir volúmenes de líquidos y otro para medir materiales áridos.
Además del pie cúbico, la pulgada cúbica y la yarda cúbica, estas unidades son diferentes a las unidades utilizadas en el Sistema Imperial, aunque los nombres de las unidades son similares. Además, el sistema imperial no contempla más que un sólo juego de unidades tanto para materiales líquidos y áridos.

En los Estados Unidos

Volumen en sólidos
Volumen en áridos
  • 1 pinta (pt) = 550,610471358 ml
  • 1 cuarto (qt) = 2 pt = 1,10122094272 l
  • 1 galón (gal) = 4 qt = 8 pt = 4,40488377086 l
  • 1 peck (pk) = 2 gal = 8 qt = 16 pt = 8,80976754172 l
  • 1 bushel (bu) = 4 pk = 8 gal = 32 qt = 64 pt = 35,2390701669 l
Volumen en líquidos
  • 1 Minim = 61,6115199219 μl (microlitros) ó 0,0616115199219 ml
  • 1 Dracma líquido (fl dr) = 60 minims = 3,69669119531 ml
  • 1 Onza líquida (fl oz) = 8 fl dr = 480 minims = 29,5735295625 ml
  • 1 Gill = 4 fl oz = 32 fl dr = 1.920 minims = 118,29411825 ml
  • 1 Pinta (pt) = 4 gills = 16 fl oz = 128 fl dr = 7.680 minims = 473,176473 ml
  • 1 Cuarto (qt) = 2 pt = 8 gills = 32 fl oz = 256 fl dr = 15.360 minims = 946,352946 ml
  • 1 Galón (gal) = 4 qt = 8 pt = 32 gills = 128 fl oz = 1.024 fl dr = 61.440 minims = 3,785411784 l
  • 1 Barril = 42 gal = 168 qt = 336 pt = 1.344 gills = 5.376 fl oz = 43.008 fl dr = 2.580.480 minims = 158,987294928 l

En el Reino Unido

Volumen en sólidos
Volumen en áridos
  • 1 cuarto (qt) = 1,32251120912 l
  • 1 peck (pk) = 8 qt = 10,5800896729 l
  • 1 bushel (bu) = 4 pk = 32 qt = 42,3203586918 l
Volumen en líquidos
  • 1 Minim = 59,19388388 μl (microlitros) ó 0,05919388388 ml
  • 1 Escrúpulo líquido = 20 minims = 1,1838776776 ml
  • 1 Dracma líquido (fl dr) = 3 escrúpulos líquidos = 60 minims = 3,55163303281 ml
  • 1 Onza líquida (fl oz) = 8 fl dr = 24 escrúpulos líquidos = 480 minims = 28,4130625 ml
  • 1 Gill = 5 fl oz = 40 fl dr = 120 escrúpulos líquidos = 2.400 minims = 142,0653125 ml
  • 1 Pinta (pt) = 4 gills = 20 fl oz = 160 fl dr = 480 escrúpulos líquidos = 9.600 minims = 568,26125 ml
  • 1 Cuarto (qt) = 2 pt = 8 gills = 40 fl oz = 320 fl dr = 960 escrúpulos líquidos = 19.200 minims = 1,1365225 l
  • 1 Galón (gal) = 4 qt = 8 pt = 32 gills = 160 fl oz = 1.280 fl dr = 3.840 escrúpulos líquidos = 76.800 minims = 4,54609 l
  • 1 Barril = 35 gal = 140 qt = 280 pt = 1.120 gills = 5.600 fl oz = 44.800 fl dr = 134.400 escrúpulos líquidos = 2.688.000 minims = 159,11315 l
Hay muchas unidades con el mismo nombre y con la misma equivalencia (según el lugar), pero son principalmente utilizados en países de habla inglesa.

ecuacion de la parabola

Sabemos que la ecuacion de la parabola con Vertivce en V(h , k) ; eje orizontal que abre hacia la derecha es

(y - k)² = 4p.(x - h)

En nuestro caso tenemos :

1) Vertice en V(0 , 0) ===> h = 0 .... k = 0

La ecuacion queda de forma :

(y - 0)² = 4p.(x - 0)


==> y² = 4p.x
============


2) La parabola pasa por el punto P(3,1) resulta ===> x = 3 .... y = 1

Sustituimos en la ecuacion :

(1)² = 4p.(3)

4p = 1/3
=======

Reemplazamos " 4p = 1/3 " en la ecuacion de la parabola

y² = 4p.x

y² = (1/3)x

y² - (1/3).x = 0 <---------- ECUACION PARABOLA
=============

Para dibujar tenemos que hallar mas elemetos de la parabola como : el FOCO ; LADO RECTO LR ; recta directriz



LR = 4p = 1/3 <-------- el LADO RECTO

p = 1/12 = 0,083 <----------- la distancia entre vertice V(0,0) y el Foco ( p , 0)

la recta directriz pasara por el punto ( - p , 0) y es paralela al eje OY

x = - 1/12 <------------ Recta directriz
========



Ahora para dibujarla tienes que dar unas cuantas valores al x para hallar el y y construies una tabla x/y

Marcas estos puntos y luego trazas la parabola ....

por ejemplo un punto lo tenemos : P(3 , 1)


Siendo una parabola con el vertice en origen y eje traveso el eje X resulta que la parabola pasara tambien po P'( 3 , -1)

curbas en una funcion

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la Variable dependiente, con el valor de la misma siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (x,y) equivale a la expresión (x,f(x)).
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto X como Y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro.

Ejemplo

Dada la ecuación Y = X2, una parametrización tendrá la forma \begin{cases} X = u (t) \\ Y = v (t) \end{cases}
Una parametrización posible sería \begin{cases} X = t \\ Y = t^2 \end{cases}

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde "X" y "Y" equivaliesen a 2U y 4U2 sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1
Una asíntota (del griego: ἀσύμπτωτος — asýmptōtos— “aquello que no cae” palabra formada a partir del verbo συμπίπτειν sympiptein, “caer-con”) es una función cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o parabola que, dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximación a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus límites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos. En términos simples, una asíntota es una recta a la cual otra función se le va aproximando indefinidamente.

Asíntota vertical

Si existe alguno de estos dos límites:
\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty
\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty
a la recta x = a se la denomina asíntota vertical.

Asíntota horizontal

Si existe el límite:
 \lim_{x \to \pm\infty} f(x)= a , siendo a un valor finito
la recta y = a es una asíntota horizontal

Caso particular

Si para la función f(x) = \frac {1} {x} se calcula f(x) cuando x toma valores positivos o negativos grandes (ver valor absoluto), se puede observar que f(x) se aproxima a cero. Esta situación se puede escribir como:
\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 y a la recta y = 0 se la denomina asíntota horizontal

Asymp1.gif

division de un polinomio entre un monomio

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
  • Se aplica ley de signos
  • Se multiplica el dividendo del primer termino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la division, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la division (esto se llama división cruzada)
  • Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
  • Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
  • Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
  • Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.
  • Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.
  • Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.
  • Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.
  • El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.
  • Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
  • El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
  • Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
  • Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos:

funciones polinomiales de 4 grado

funciones polinomiales de 3 grado y 4 grado

Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \,,
donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

para que sirve la derivada

Si tu derivas una función, lo que obtienes es una segunda función que se llama Función Derivada. Si evalúas esa función derivada en algún punto X que pertenezca a su dominio obtienes un resultado numérico. Este resultado numérico representa, en términos geométricos, la PENDIENTE de la Recta Tangente a la curva de la función original, en el punto en que la has evaluado. En definitiva, la derivada de una función en un punto, es la pendiente de la recta tangente en ese punto.

que es derivar

En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada se representa cómo una función que cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo, es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

funciones polinomiales de grado 2 y las particularidades de los modelos cuadrádos

Métodos de mínimos cuadrados.
El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en
un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta
resultante presenta dos características importantes:
1. Es nula la de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste
∑ (Yー - Y) = 0.
2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría
una suma de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yー - Y)² → 0
(mínima).
El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²

emplazando nos queda


La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:
 
Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los valores de a y b.

linea recta

a distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =  esta dada por:
(1)


Demostración
En la figura 4.1. hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) asi como también el segmento de recta 

funcion polinamial de grado

En matemática, las funciones polinómicas son las funciones
f:x \mapsto P(x)\,

donde P(x)\, es un polinomio en x\,, \forall x\in\mathbb{R}, es decir, una suma finita de potencias de x\, multiplicados por coeficientes reales, de la forma:
P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i

funciones de segundo grado

La expresión general de una función polinómica de segundo grado es:
f(x)=ax2+bx+c
1.- Cambia los coeficientes a, b y c. y observa que se obtiene la representación de la función correspondiente.
Nota: Para cambiar los valores de los parámetro a, b y c haz clic sobre los pequeños triángulos de colores que hay junto al parámetro. También puedes hacer clic sobre el valor del parámetro, modificar el número con el teclado y a continuación pulsar la tecla INTRO.
La gráfica que se obtiene se llama parábola, es una curva simétrica respecto a un eje y el punto que es simétrico de sí mismo se llama vértice.
Funciones de tipo y = ax2
Primeramente vamos a ver las funciones de tipo y = ax2, son las que tienen la expresión más simple dentro de las funciones cuadráticas.
Con las actividades se pretende que trates de encontrar una relación entre el valor de a y la forma de la gráfica de la función.

funciones de primer grado

Las funciones polinómicas de primer grado son funciones del tipo f(x) = mx + n, y su representación gráfica son rectas donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen.
Estas funciones son continuas en toda la recta real, crecientes (m > 0) o decrecientes (m < 0).
En la función f(x) = mx + n se pueden presentar tres casos:
  • Si n = 0, la función se denomina función lineal o de proporcionalidad directa. Su gráfica pasa por el origen de coordenadas. Estas funciones relacionan dos variables directamente proporcionales.
  • Si m y n son distintos de 0, la función se llama función afín.
  • Si m = 0, decimos que la función es constante y su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por el punto (0, n).

Imagen: Gráfica de funciones polinómica

traslación horizontal

y = (x + h)²
Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades.
Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades.
El vértice de la parábola es: (−h, 0).
El eje de simetría es x = −h.
funciónfunción
y = (x + 2)²y = (x − 2)²




  ACTIVIDADES
    Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x2, representa:
1. y = (x - 1)²
2. y = (x + 4)²

traslaciones verticales y horizontales

Traslación vertical


¿Cómo comparas las gráficas de y = x2 + 2  y  y = x2 - 3 con la gráfica de y = x2?  Observa las gráficas a continuación.




Observa que la gráfica de y = x2 + 2 sube dos unidades desde el origen y la gráfica de y = x2 - 3 baja tres unidades desde el origen.
 

fincion identica

Una función identidad es una función, de un conjunto M\; en sí mismo, que devuelve su propio argumento. Es decir:
\begin{matrix} I_M \colon M & \mapsto & M \\ \qquad m & \mapsto &  m \, \end{matrix}
La función f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dada por f(x)=x\, es la función identidad en \mathbb{R}.

funcion inversa

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
Diagramas
Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

funcion algabraica

En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación
a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0
donde los coeficientes ai(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.
En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia:
y^2+x^2=1.\,
La misma determina y, excepto por su signo:
y=\pm \sqrt{1-x^2}.\,
Sin embargo, se considera que ambas ramas pertenecen a la "función" determinada por la ecuación polinómica.
Una función algebraica de n variables es definida en forma similar a la función y que es solución de la ecuación polinómica en n + 1 variables:
p(y,x_1,x_2,\dots,x_n)=0.\,